1. রেখা, রেখাংশ ও রশ্মি:
- রেখা (Line): যার নির্দিষ্ট কোনো দৈর্ঘ্য নেই এবং প্রান্তবিন্দু নেই।
- রেখাংশ (Line Segment): রেখার একটি অংশ, যার নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য ও 2টি প্রান্তবিন্দু আছে।
- রশ্মি (Ray): যার একটি মাত্র প্রান্তবিন্দু আছে কিন্তু নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই।
2. গুরুত্বপূর্ণ কোণসমূহ:
- সূক্ষ্মকোণ (Acute): 90° অপেক্ষা ছোট কোণ।
- সমকোণ (Right): ঠিক 90°।
- স্থূলকোণ (Obtuse): 90° এর বড় কিন্তু 180° এর ছোট।
- সরলকোণ (Straight): 180°।
- প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex): 180° থেকে 360° এর মধ্যে।
3. পরীক্ষায় সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ কোণ:
- পূরক কোণ: যোগফল 90°। (40° এর পূরক = 50°)
- সম্পূরক কোণ: যোগফল 180°। (100° এর সম্পূরক = 80°)
- বিপরীত কোণ: দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে বিপরীত কোণ সমান হয়।
- সহ-অন্তঃস্থ কোণ: সমান্তরাল রেখার ক্ষেত্রে যোগফল 180°।
- একান্তর কোণ: সমান্তরাল রেখার ক্ষেত্রে পরস্পর সমান।
তিনটি বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজ বলে।
1. সাধারণ সূত্র ও উপপাদ্য:
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180° (দুই সমকোণ)।
- যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
- বহিঃস্থ কোণ = বিপরীত দুই অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি।
2. বাহুভেদে ত্রিভুজ:
- সমবাহু: তিন বাহু সমান, প্রতিটি কোণ 60°।
- সমদ্বিবাহু: দুই বাহু সমান, এদের বিপরীত কোণ সমান।
- বিষমবাহু: তিনটি বাহু অসমান।
3. কোণভেদে ত্রিভুজ:
- সূক্ষ্মকোণী: তিনটি কোণই <90°।
- সমকোণী: একটি কোণ = 90°।
- স্থূলকোণী: একটি কোণ >90°।
চারটি রেখাংশ দ্বারা সীমাবদ্ধ চিত্র। চার কোণের সমষ্টি = 360°।
বিভিন্ন প্রকার চতুর্ভুজ:
- আয়তক্ষেত্র: বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল, প্রতিটি কোণ 90°। কর্ণদ্বয় সমান ও পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- সামান্তরিক: বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল, কোণ সমকোণ নয়। কর্ণদ্বয় অসমান কিন্তু পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- বর্গক্ষেত্র: চার বাহু সমান, প্রতিটি কোণ 90°। কর্ণদ্বয় সমান ও সমকোণে (90°) সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বস: চার বাহু সমান, কোণ সমকোণ নয়। কর্ণদ্বয় অসমান কিন্তু সমকোণে (90°) সমদ্বিখণ্ডিত করে। (বিসিএসে বারবার আসে!)
- ট্রাপিজিয়াম: একজোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল।
সমকোণী ত্রিভুজের জন্য প্রযোজ্য।
উপপাদ্য: অতিভুজ2 = লম্ব2 + ভূমি2 ($c^2 = a^2 + b^2$)
• 3, 4, 5 • 6, 8, 10 • 5, 12, 13
• 8, 15, 17 • 7, 24, 25 • 9, 40, 41
লম্ব 5 ও ভূমি 12 দেওয়া থাকলে সূত্র না করেও বলা যাবে অতিভুজ 13!
উত্তর: ক) 30°
ব্যাখ্যা: ধরি কোণ = $x$। শর্তমতে $x = \dfrac{90°-x}{2}$ → $2x = 90°-x$ → $3x = 90°$ → $x = 30°$।
উত্তর: খ) অর্ধেক
ব্যাখ্যা: ত্রিভুজের মধ্যমা-সংক্রান্ত উপপাদ্য — দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং অর্ধেক দৈর্ঘ্যের।
উত্তর: খ) সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে
ব্যাখ্যা: বর্গ ও রম্বস উভয়ের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে (90°) সমদ্বিখণ্ডিত করে।
উত্তর: ক) 13 সে.মি.
ব্যাখ্যা: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$। শর্টকাট ট্রিপলেট: 5, 12, 13।
উত্তর: গ) সমান
ব্যাখ্যা: সমান্তরাল রেখার ছেদকে উৎপন্ন একান্তর কোণ ও অনুরূপ কোণ সর্বদা পরস্পর সমান।
উত্তর: খ) সমকোণী
ব্যাখ্যা: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$। শর্তটি পূরণ হয়েছে → সমকোণী ত্রিভুজ।